BON 手册：从色散关系到可及性诊断的完整逻辑

面向读者： 等离子体物理专业研究生或从事射频加热研究的科研人员。假定读者已了解基本的等离子体波概念（回旋频率、等离子体频率等），但不要求事先熟悉多流体模型或可及性分析方法。

阅读目标： 把 BON/BON Studio 理解为一个局域色散分析工具，而不是一组彼此独立的参数输入框。读完后，应能沿着下面的因果链解释它的输入、求解和输出：

给定等离子体参数（B, n, T, 组分, n∥, f）
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   冷等离子体: An⁴ − Bn² + RLP = 0  →  最多 4 个 n² 解
   热多流体:   kx·X = M·X         →  2S+4 个 kx 本征解
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         n⊥² = (k⊥c/ω)²  →  asinh 压缩绘图
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    Re(n⊥²) > 0 : 传播    Re(n⊥²) < 0 : 倏逝
    Re(n⊥²) = 0 : 截止    Re(n⊥²) → ∞ : 共振

本文以 BON 的物理模型为主线，并以 BON Studio（网页版）和配套命令行程序的实现说明这些数学对象如何进入实际操作。

第一部分：物理原理

1. 波传播可及性问题

1.1 问题的提出

在磁约束聚变实验中，射频波（ECRF、LHRF、ICRF）从低密度边界区域的天线发射，向等离子体芯部传播并加热等离子体或驱动电流。但并非所有频率的波在所有参数区域都能传播——某些区域波会截止（cut-off）反射回来，或遇到共振（resonance）层被吸收或发生模式转换。

BON 要回答的核心问题是：

给定一组局部等离子体参数（磁场、密度、组分、温度、平行折射率），判断特定频率的波能否传播到该位置。

具体通过计算垂直于磁场方向的折射率平方 $n_\perp^2 = (k_\perp c / \omega)^2$ 来实现。判据如下：

1.2 为什么是可及图而非 CMA 图？

传统的 CMA（Clemmow–Mullaly–Allis）图以 $\omega$ 为参数展示波模的 $n^2$ 变化，适合课堂教学。但在实际射频加热实验中，天线发射的波频率 $\omega$ 固定，平行折射率 $n_\parallel = k_\parallel c / \omega$ 由天线几何决定——这两个量在波发射区域是给定输入，而非自由参数。

因此，可及图采用以下方式：

固定 $\omega$ 和 $n_\parallel$（以及温度、磁场等），沿某个可变参数（密度、位置 $R$、或频率本身）扫描，计算所有分支的 $n_\perp^2$ 并观察其符号与趋势。

这更贴近实验诊断需求——它能直接告诉研究者：在某个密度剖面或径向位置上，X 模式能否到达基频回旋共振层，慢波是否需要满足 $n_\parallel > n_a$ 的可及性条件，等等。

可及图（Fig. 3 in Xie 2024）相比传统的 $\omega$ vs $k_\perp$ 色散图（Fig. 2）有一个关键优势：它可以同时展示倏逝区（$n_\perp^2 < 0$）的波模连接关系——例如 ECRF 的 O 模式和慢 X 模式在倏逝区中相连，揭示了 O–X 模式转换的可能性。在 $\omega$ vs $k_\perp$ 图中，由于假定了 $k_\perp$ 为实数，这些连接不可见。

2. 冷等离子体色散关系：Stix 表述

2.1 基本方程

在冷等离子体近似（$T_s = 0$）下，假设无限大均匀等离子体，背景磁场 $\boldsymbol{B}_0 = (0, 0, B_0)$，波矢 $\boldsymbol{k} = (k_x, 0, k_z) = (k\sin\theta, 0, k\cos\theta)$，即 $k_\parallel = k_z$, $k_\perp = k_x$。使用 Stix 记号，线性扰动电场 $\boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z)^T$ 满足：

$$ \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} = \boldsymbol{n} \times (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E}) + \boldsymbol{K} \cdot \boldsymbol{E} = 0, \tag{1} $$

其中介电张量

$$ \boldsymbol{K} = \begin{pmatrix} S & -iD & 0 \\ iD & S & 0 \\ 0 & 0 & P \end{pmatrix}, $$

以及 Stix 参数：

$$ \begin{aligned} S &= 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{cs}^2}, \quad P = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2}, \\ D &= \sum_s \frac{\omega_{cs}}{\omega} \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{cs}^2}, \\ R &= S + D = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega(\omega + \omega_{cs})}, \\ L &= S - D = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega(\omega - \omega_{cs})}. \end{aligned} $$

这里 $s$ 遍历所有带电粒子组分。$\omega_{ps} = \sqrt{n_{s0} q_s^2 / \epsilon_0 m_s}$ 为等离子体频率，$\omega_{cs} = q_s B_0 / m_s$ 为回旋频率（注意电子的 $q_e < 0$，故 $\omega_{ce} < 0$），$c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$ 为真空光速。

2.2 冷等离子体色散关系

非平凡解（$\boldsymbol{E} \neq 0$）的条件给出：

$$ An^4 - Bn^2 + RLP = 0, \tag{2} $$

其中 $A = S\sin^2\theta + P\cos^2\theta$，$B = RL\sin^2\theta + PS(1 + \cos^2\theta)$。解得：

$$ n^2 = \frac{B \pm F}{2A}, \tag{3} $$

其中 $F^2 = (RL - PS)^2 \sin^4\theta + 4P^2D^2\cos^2\theta \ge 0$，意味着 $n^2 = n_\parallel^2 + n_\perp^2$ 对实 $\tan\theta = n_\perp/n_\parallel$ 始终为实数。

2.3 分支计数：为什么是 5 个分支？

方程 (2) 是关于 $n^2$ 的二次方程。对给定的 $\omega$，最多给出 4 个冷等离子体 $n^2$ 解（对应 4 个 $n_\perp$ 模式，考虑正负方向对称性后需考虑的物理模式为 2 个）。但如果我们问"整个频段内有多少个冷等离子体分支"，答案由 $k_x$ 矩阵公式给出。

在冷等离子体极限（$c_s^2 = 0$）下，线性化方程退化为 $3S + 6$ 个方程，给出 $3S + 6$ 个 $\omega$ 解（含 2 个 $\omega = 0$ 的平凡解）。考虑正负方向对称性，$\omega$ 分支数为 $(3S + 4)/2$。

对两种组分（$S = 2$，电子 + 一种离子），全局共 $(3 \times 2 + 4)/2 = 5$ 个物理分支，展示在 Fig. 2 中。

关键区分： 对任一固定频率 $\omega$，冷等离子体的 $n^2$ 二次方程给出最多 4 个解（2 个物理 $n_\perp^2$）。但跨整个频段，全局共有 5 个色散分支。这不是矛盾——在某一固定频率处，并非所有 5 个分支都同时存在 $n_\perp^2$ 的实数解。

2.4 五个冷等离子体波分支

按频率从高到低排列（参数 $B = 1.5$ T, $n_{e0} = 1.5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, D$^+$ 等离子体, $k_\parallel = 40$ m$^{-1}$）：

在冷等离子体模型中，快 X 模式和 O 模式在高频端（ECRF）近似真空中的电磁波；慢 X 模式在 $k_\perp$ 较大时趋于上混杂共振 $f_{UH} = \sqrt{f_{pe}^2 + f_{ce}^2}$；低混杂波慢波趋于低混杂共振 $f_{LH}$；离子回旋慢波则趋于 $f_{ci}$。

3. 热多流体模型

3.1 为什么需要热模型

冷等离子体忽略了热压力效应（$T_s = 0$，$P_s = 0$）。这在以下两种情况下失效：

1. $k_\perp \rho_{cs} \gtrsim 1$： 垂直波长接近或小于离子/电子回旋半径时，有限 Larmor 半径（FLR）效应不可忽略。
2. $v_{ts} \gtrsim \omega/k_\parallel$： 热速度接近或超过波的平行相速度时，Landau 阻尼显著。

热多流体模型通过在各向同性压力项中引入温度效应，在不求解完整动力学色散关系的前提下，快速判断冷等离子体近似是否有效。

3.2 控制方程组

多流体方程在线性化之前的完整形式为：

$$ \begin{aligned} \partial_t n_s &= -\nabla \cdot (n_s \boldsymbol{v}_s), \\ \partial_t \boldsymbol{v}_s &= -\boldsymbol{v}_s \cdot \nabla \boldsymbol{v}_s + \frac{q_s}{m_s}(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}_s \times \boldsymbol{B}) - \frac{\nabla P_s}{\rho_s}, \\ \partial_t \boldsymbol{E} &= c^2 \nabla \times \boldsymbol{B} - \boldsymbol{J}/\epsilon_0, \\ \partial_t \boldsymbol{B} &= -\nabla \times \boldsymbol{E}, \end{aligned} $$

其中电流 $\boldsymbol{J} = \sum_s q_s n_s \boldsymbol{v}_s$，压力满足绝热关系 $d_t(P_s \rho_s^{-\gamma_s}) = 0$，质量密度 $\rho_s \equiv m_s n_s$。绝热系数取 $\gamma_s = 2$（而非通常的 $\gamma_s = 5/3$），以更接近动力学模型的结果。

3.3 线性化与压力项

假设 $f = f_0 + \delta f$ 且 $\delta f = \delta f \, e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} - \omega t)}$，线性化压力项给出：

$$ \delta P_s = P_{s0} \gamma_s \delta\rho_s = c_s^2 m_s \delta n_s, $$

其中 $c_s^2 \equiv \gamma_s P_{s0} / \rho_{s0} = \gamma_s k_B T_{s0} / m_s$，$P_{s0} = n_{s0} k_B T_{s0}$。压力的梯度则为：

$$ \nabla \delta P_s = (i k_x \delta P_s, 0, i k_z \delta P_s). $$

与冷等离子体相比，压力项通过 $k_x c_s^2 \delta n_s / n_{s0}$ 和 $k_z c_s^2 \delta n_s / n_{s0}$ 的形式进入动量方程，在 $T_s \to 0$ 时退化回冷等离子体。

3.4 本征值问题：$k_x$ 矩阵方法

线性化后的完整方程组包含 $4S + 6$ 个方程（连续性 $S$ 个、动量 $3S$ 个、Maxwell $6$ 个），给出 $4S + 6$ 个 $\omega$ 解（含 2 个 $\omega = 0$）。但在可及性分析中，我们关心的是对于给定的 $\omega$，$k_x$（即 $k_\perp$）有哪些解。

将线性化方程组重写为以 $k_x$ 为未知量的形式，得到 $2S + 4$ 个方程，可以整理为矩阵本征值问题：

$$ k_x \cdot \boldsymbol{X} = \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{X}, \tag{4} $$

其中状态向量

$$ \boldsymbol{X} = [\delta n_s, \delta v_{sx}, \delta E_y, \delta E_z, \delta B_y, \delta B_z]^T, $$

包含 $S$ 个密度扰动、$S$ 个 $x$ 方向速度扰动、以及 4 个电磁场分量，共 $2S + 4$ 个分量。矩阵 $\boldsymbol{M}$ 由方程组 (10a)–(10f) 的系数构成。使用标准的稠密矩阵本征值求解器，一次性获得所有 $k_x$ 本征值和对应的本征向量（即波的极化状态）。

在冷等离子体极限（$c_s^2 = 0$）下，该方程组退化为 4 个方程，即冷等离子体的 4 个 $k_x$ 分支（与 $n^2$ 二次方程的 4 个解一致）。

3.5 热多流体模型的两个关键效应

与冷等离子体模型相比，热多流体模型带来了两个关键变化：

1. 新增离子声波（IAW）分支： 频率满足 $\omega \sim k_\parallel v_{ts}$，在 $T_s = 0$ 时消失。这是纯热效应产生的新低频模式。在图 2 中以品红色线标示（冷等离子体中无对等的蓝色虚线）。
2. 共振缓解（resonance mitigation）： 冷等离子体中 $k_\perp \to \infty$ 的上混杂（UH）共振、低混杂（LH）共振和离子回旋（IC）共振，在热多流体中不再是无界发散，而是被连续修改为新的热分支。物理上，这意味着波在共振层附近不会"堆积"，而是以热模式继续传播或转换为其他模式。例如：
   • $f_{LH}$ 和 $f_{UH}$ 在 $k_\perp \to \infty$ 处的共振不再存在；
   • 离子回旋慢波从 $f < f_{ci}$ 被修改为 $f > f_{ci}$（大 $k_\perp$ 时）；
   • 低混杂慢波被修改为热离子等离子体波分支。

核心洞察： 热多流体模型不能重现 Bernstein 模式（EBW/IBW 的分立谐波），但它通过"共振缓解"指示了热效应在何处变得重要——当热流体解偏离冷等离子体解时，即提示需要动力学处理。此外，热流体分支的包络线往往接近动力学 Bernstein 模式的包络（见附录 A 的 Fig. A.9）。

4. 诊断概念：截止、共振与模式转换

4.1 截止（cut-off）

当 $n_\perp^2$ 曲线穿过零点（$\mathrm{Re}(n_\perp^2) = 0$）时，波发生截止并反射。在截止附近：

• 波从传播区（$\mathrm{Re}(n_\perp^2) > 0$）进入倏逝区（$\mathrm{Re}(n_\perp^2) < 0$），或反向；
• 倏逝区宽度有限时，可能发生隧穿效应（tunneling），部分波能量穿过倏逝层；
• 在截止附近可能发生模式转换（如 O 模式隧穿转换为慢 X 模式，即 O–X 转换）。

4.2 共振（resonance）

当 $n_\perp^2$ 迅速增大（冷等离子体中趋于 $\infty$）时，波遇到共振层。在共振层：

• 波的相速度趋于零或波长趋于零；
• 波能量可能通过碰撞或无碰撞机制被吸收；
• 可能发生模式转换（如慢 X 模式在 UH 共振层转换为电子 Bernstein 波，即 SX–B 转换）。

在热多流体模型中，共振发散被"平滑"——$n_\perp^2$ 不再趋于 $\infty$，而是连续过渡为热模式分支。这直观地显示了模式转换的路径。

4.3 模式转换链条：O–X–B

电子回旋频段最重要的模式转换链条是 O–X–B：

1. O → SX（O–X 转换）： O 模式在截止附近的倏逝区中通过隧穿效应转换为慢 X 模式。这一过程发生在近截止区域，热效应通常可忽略。
2. SX → EBW（SX–B 转换）： 慢 X 模式在 UH 共振层转换为电子 Bernstein 波（EBW）。这一过程发生在近共振区域，热效应至关重要。

热多流体模型尽管不能描述 EBW 本身，但通过显示冷等离子体慢 X 模式与热流体分支在 UH 共振处的连续连接，指示了 SX–B 转换发生的参数区域。

4.4 asinh 压缩：为何不用 log 尺度

$n_\perp^2$ 的取值范围可跨越数个数量级（从 $-\infty$ 量级的倏逝值到 $+\infty$ 量级的共振值），且可正可负。传统的 $\log_{10}$ 尺度不适用于负值。BON 采用 $\operatorname{sinh}^{-1}$（反双曲正弦）压缩：

$$ y = \operatorname{asinh}(a \cdot n_\perp^2), $$

其中 $a = 10$ 是缩放因子，用于放大 $|n_\perp^2|$ 较小时的细节。$\operatorname{asinh}(x) \approx x$ 当 $|x| \ll 1$（小值线性），$\operatorname{asinh}(x) \approx \operatorname{sign}(x) \cdot \ln(2|x|)$ 当 $|x| \gg 1$（大值对数压缩）。该映射对正负值对称，在 $|n_\perp^2| \ll 1$ 附近近似线性，能清晰展示截止和模式转换细节。

4.5 $\mathrm{Im}(n_\perp^2)$ 的解释：重要告诫

在可及图（$n_\perp^2$ vs 扫描参数）中，$\mathrm{Im}(n_\perp^2) \neq 0$ 的模在 $\omega$ vs $k_\perp$ 色散图中不出现——因为后者假定了 $k_\parallel$ 和 $k_\perp$ 均为实数，对应的 $\tan\theta = k_\parallel/k_\perp$ 也是实数。而在可及图中，固定 $k_\parallel$ 求解 $k_\perp$，部分解自然具有非零虚部，这些解出现在倏逝区中并揭示了不同波模之间的连接。

关键告诫： 热多流体模型中的 $\mathrm{Im}(n_\perp^2)$ 不是物理阻尼率。它是矩阵本征值方程的数学结果，不包含 Landau 阻尼或碰撞阻尼的物理机制。在 BON Studio 绘图中，线条颜色编码 $|\mathrm{Im}(n_\perp^2)| / |n_\perp^2|$，应将其视为分支诊断指标（指示该解偏离纯实数的程度），而非能量吸收率的量度。当需要真实的波阻尼率时，须参考动力学模型或全波解。

5. 模型局限性与适用范围

应清楚认识 BON 的适用边界：

BON 的正确定位是：快速筛选工具——在投入昂贵的全波模拟或动理学计算之前，先用 BON 判断某个参数区域内的波传播是否可能、冷等离子体近似是否足够、以及热效应是否不可忽略。

第二部分：各频段物理详解

6. ECRF：电子回旋频段

6.1 基本特征

ECRF 波频率在 28–170 GHz 范围，$f \sim f_{ce}$。在 Fig. 4 的参数设置下（$f = 56$ GHz, $B = 1.5$ T, $n_\parallel = 0.65$, $T_s = 1$ keV），关键观察：

• 截止密度： O 模式和 X 模式均存在截止密度——超过该密度后波进入倏逝区。这是 ECRF 不能加热高密度等离子体的根本原因，除非使用更高的波频率。基频 O 模式的截止密度由 $\omega = \omega_{pe}$ 给出（$n_{e0} = \epsilon_0 m_e \omega^2 / e^2$），基频 X 模式的截止密度由 $\omega = \omega_{ce}/2 + \sqrt{\omega_{ce}^2/4 + \omega_{pe}^2}$（右旋截止，R-cutoff）和 $\omega = -\omega_{ce}/2 + \sqrt{\omega_{ce}^2/4 + \omega_{pe}^2}$（左旋截止，L-cutoff）给出。
• 倏逝层宽度优化： 通过选择优化的 $n_\parallel$，可以最小化 O 模式与慢 X 模式之间的倏逝层宽度，提高 O–X 隧穿效率。
• SX → 热模式的转换： 在冷等离子体模型中，慢 X 模式在 UH 共振层被截断。在热多流体模型中，SX 模式在共振层附近连续转换为热模式分支——这对应于动力学中的 SX–B 转换。关键是：O–X 转换（近截止区域）的热效应可忽略，但 SX–B 转换（近共振区域）的热效应不可忽略。

6.2 实用结论

ECRF 可及性分析的三条实用规则：

1. 截止密度决定了 ECRF 加热的密度上限——需根据目标等离子体密度选择足够高的波频率。
2. $n_\parallel$ 的选择影响倏逝层宽度——在 O–X–B 方案中需仔细优化。
3. 热多流体模型可用于初步判断 UH 共振层附近是否需要动力学处理——若热流体解在共振处显著偏离冷等离子体解，则动力学效应不可忽略。

7. LHRF：低混杂频段

7.1 基本特征

LHRF 波频率典型在 0.5–8 GHz 范围，$f \sim f_{LH} \sim \sqrt{f_{ci} f_{ce}}$（$k_\perp$ 较大时）。两种冷等离子体模式：快波（FW，whistler 分支）和慢波（SW，低混杂波）。

7.2 可及性条件：临界平行折射率 $n_a$

低混杂波的可及性存在一个关键的临界平行折射率：

$$ n_a = \sqrt{S} + \sqrt{-D^2/P} \simeq \sqrt{\frac{1}{1 - \omega^2 / |\omega_{ci}\omega_{ce}|}}. $$

可及性行为分为两种情形（Fig. 5 & 6）：

这就是实验中要求天线发射略高于 $n_a$ 的平行折射率的原因。

7.3 热效应修正

在热多流体模型中（Fig. 5 & 6）：

• 慢波不会在 LH 共振层停止，而是进一步转换为热离子等离子体波——这与早期用 LHW 加热离子的提议相关，但转换效率通常不高。
• 密度扫描（Fig. 6）显示：低密度（$n_{e0} = 5 \times 10^{18}$ m$^{-3}$）时，FW 和 SW 均可传播；高密度（$n_{e0} = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$）时，仅 FW 可传播。这是 LHW 难以穿透到高密度芯部的物理原因。

7.4 实用结论

这一"难以到达高密度芯部"的特性反而可以被利用：LHW 可用于离轴电流驱动（off-axis current drive），实现电流密度剖面的剪裁。

8. ICRF：离子回旋频段

8.1 基本特征

ICRF 波频率典型在 10–120 MHz，$f \lesssim f_{ci}$。两种模式：快波（FW，磁声波，与 LHRF 快波同一连续分支）和慢波（SW，剪切 Alfvén 波）。

8.2 传播区域分离

ICRF 快波和慢波的传播区域几乎不重叠（Fig. 7）：

• 慢波（SW）： 仅在极低密度区传播，热效应显著改变其行为。由于频率低、波长长，通常需要全局模型而非局域可及性分析。
• 快波（FW）： 仅在高密度区传播。冷等离子体模型对 FW 的可及性分析通常足够——冷解和热解高度一致。

8.3 多离子组分与 minority 加热

基频离子回旋共振加热（$\omega = \omega_{ci}$）对单一离子组分等离子体效率不高。三种改进方案：

1. 二次或高阶离子回旋共振加热；
2. 多种离子组分 + minority 离子共振加热（如在 D 等离子体中添加少量 H）；
3. 离子 Bernstein 波（IBW）加热。

引入 minority 离子（Fig. 7b, 10% H + 90% D）后：

• 离子-离子混杂共振层出现，将快波传播区分割为两个区域；
• 慢波行为被显著改变；
• 在共振位置，快波与热模式分支连接，指示可能发生模式转换。

8.4 径向可及性：$R$ 扫描

Fig. 8 展示了更贴近真实实验的径向 $R$ 扫描。使用 $B(R) = B_{00} R_0 / R$ 和 $n_{s0}(R) = n_{s00} \exp[-(R - R_0)^2 / \Delta R^2]$ 剖面（$R_0 = 2$ m, $B_{00} = 3$ T, $\Delta R = 0.5$ m, $n_{00} = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, 10% H + 90% D, $f = 60$ MHz, $n_\parallel = 5, T_s = 1$ keV）：

• 快波被离子-离子混杂共振层分为两个 $R$ 区域传播；
• 两个区域内冷等离子体解和热多流体解一致——冷模型对 FW 光线追踪足够；
• 共振处热模式连接显示可能发生模式转换到热离子模式。

9. 离子声波（IAW）

离子声波是热多流体模型独有的模式，在冷等离子体中不存在。其色散关系近似为 $\omega \sim k_\parallel v_{ts}$（$v_{ts}$ 为离子热速度）。在动力学描述中，IAW 通常是强 Landau 阻尼的，且存在多个离子声波子分支。热多流体模型仅给出一个 IAW 分支，不足以完整描述离子声波的动力学行为。在图 2 中，IAW 是最低频的品红色分支（在 $f \sim 10$ MHz 附近）。

第三部分：与动力学模型的比较

10. 动力学色散关系的完整图景

10.1 动力学模型概述

对于 Maxwell 速度分布的等离子体，完整的动力学色散关系由下式给出（附录 A）：

$$ \bar{D}(\omega, \boldsymbol{k}) = |\boldsymbol{K}(\omega, \boldsymbol{k}) + (\boldsymbol{k}\boldsymbol{k} - k^2 \boldsymbol{I}) c^2/\omega^2| = 0, $$

其中 $\boldsymbol{K}$ 由等离子体色散函数 $Z(\zeta)$ 和修正 Bessel 函数 $I_n(b)$ 的无穷级数求和构成。由于 $Z(\zeta)$ 的复杂性和 Bessel 函数的无穷求和，动力学系统中波形模式的数量难以直接计数。

10.2 三种模型的层级关系（Fig. A.9）

通过比较冷等离子体、热多流体和动力学三种模型的色散关系，可以得出以下层级结论：

10.3 热多流体的包络性质

一个有趣且实用的发现是（Fig. A.9）：

• 对于 LHW/IBW： 动力学中 LHW 在每个 $l f_{ci} < \mathrm{Re}(f) < (l+1) f_{ci}$ 区间内分离出多个 IBW 分支（$l$ 为正整数）。但这些 IBW 分支的包络曲线接近热多流体的解。这意味着热多流体模型能给出 IBW 分立谐波的"平均"行为。
• 对于 ECW/EBW： 慢 X 模式在动力学中连续转换为 EBW 的多个分立谐波。热多流体的 SX 分支虽然偏离冷解和动力学解（大 $k_\perp$ 处），但它接近动力学 EBW 峰值的包络。
• 通用规则： 动力学解偏离冷等离子体解恰好发生在热多流体解也偏离冷等离子体解的同一参数区域。这意味着热多流体模型是判断"冷等离子体模型是否还够用"的充分指标——如果热模型和冷模型一致，动力学修正也可忽略；如果热模型偏离冷模型，则动力学效应很可能重要。

第四部分：使用方法

11. BON 命令行版本

11.1 获取与安装

BON 的源代码名为 BO-n，托管于 GitHub：https://github.com/hsxie/bon。需要在提供稠密矩阵本征值求解（eig）的科学计算编程环境中运行。克隆仓库后直接运行主脚本即可。

11.2 核心工作流

命令行版本的典型使用流程为：

1. 在参数文件中设置等离子体参数（组分、磁场、密度、温度、$n_\parallel$、频率范围等）；
2. 选择扫描变量（密度、频率、$n_\parallel$ 或 $R$）；
3. 运行主脚本，程序自动构建矩阵 $\boldsymbol{M}$ 并调用本征值求解器获得所有 $k_x$ 本征值；
4. 输出可及图（$n_\perp^2$ vs 扫描参数）和极化信息。

11.3 关键输入参数（命令行版）

11.4 输出

命令行版本直接生成交互式图形窗口（可保存为图片或 PDF 等格式）。输出图像使用 $\operatorname{asinh}(10 \cdot n_\perp^2)$ 纵轴，同时绘制冷等离子体（蓝色虚线）和热多流体（品红色实线）的结果。

11.5 命令行版 vs BON Studio 网页版

12. BON Studio 网页版界面说明

12.1 界面布局

BON Studio 网页界面分为两大区域：

• 左侧控制面板： 基准案例选择、参数输入（组分、模型、扫描变量、扫描范围、固定参数）、保存/加载输入、运行按钮、报告生成。
• 右侧可视化面板： 可及图（SVG 交互式绘图）、悬停信息栏、六项诊断指标（分支数、倏逝区占比、峰值吸收比、峰值 $|\mathrm{Im}(n_\perp^2)|$、$\mathrm{Re}(n_\perp^2)$ 极值、分支交叉数）。

底部状态标签显示求解状态：等待计算、正在计算、计算完成。

12.2 三种入口模式

12.3 四种扫描模式

选择哪种扫描变量取决于你想回答的物理问题：

对于大半径扫描，BON 使用 $B(R) = B_{00} R_0 / R$ 和 $n_{s0}(R) = n_{s00} \exp[-(R - R_0)^2 / \Delta R^2]$ 的径向剖面，模拟真实托卡马克中的参数变化。

13. 参数配置指南

13.1 基本等离子体参数

13.2 组分参数

13.3 模型选择

BON Studio 支持两种模型（可同时启用）：

• 冷等离子体（cold）： $T_s = 0$，使用 Stix 色散关系的 $n^2$ 二次方程。给出经典的 X/O/FW/SW 分支。求解最快。
• 热多流体（warm）： 包含各向同性热压力，使用 $2S+4$ 阶矩阵本征值求解。额外给出 IAW 分支和共振缓解行为。求解时间随组分数增加。

同时启用两个模型时，图像中会用不同颜色/线型区分冷解和热解，便于直接比较热效应的重要性。

14. 如何读图

14.1 可及图的基本元素

对于一张典型的 BON 可及图，按以下步骤解读：

1. 纵轴： $\operatorname{asinh}(10 \cdot n_\perp^2)$ 压缩后的 $\mathrm{Re}(n_\perp^2)$。正值在上（传播区），负值在下（倏逝区）。纵轴映射大致为：
   • $y = 0$ 对应 $n_\perp^2 = 0$（截止线）；
   • $y > 0$ 对应传播（$\mathrm{Re}(n_\perp^2) > 0$）；
   • $y < 0$ 对应倏逝（$\mathrm{Re}(n_\perp^2) < 0$）；
   • $y \approx \pm 3$ 对应 $|n_\perp^2| \approx 1$；
   • $y \approx \pm 6$ 对应 $|n_\perp^2| \approx 20$。
2. 横轴： 扫描变量（频率、密度、$n_\parallel$ 或 $R$）。
3. 紫色底色： $\mathrm{Re}(n_\perp^2) < 0$ 的倏逝候选区。分支线进入紫色区域即表示 $\mathrm{Re}(n_\perp^2) < 0$。
4. 线条颜色： $|\mathrm{Im}(n_\perp^2)| / |n_\perp^2|$ 从蓝到红编码。蓝色表示 $n_\perp^2$ 接近纯实数；红色表示复数分量显著——这是分支诊断指标，非物理阻尼（见第 4.5 节告诫）。
5. 虚线 vs 实线： 冷等离子体解通常为虚线，热多流体解通常为实线。

14.2 典型特征的识别

交互提示： 在 BON Studio 中点击分支曲线可固定该分支的详细诊断信息（模式类型、$\mathrm{Re}(n_\perp^2)$ 范围、倏逝点占比、峰值位置）。再次点击空白区域取消固定。

14.3 从图中识别波模类型

• ECRF X/O 模式： 高频端（$\gtrsim 10^4$ MHz），传播区跨度大，在截止密度以上进入倏逝。
• LHRF 慢波（SW）： 中频（$10^2$–$10^3$ MHz），低密度区传播。$n_\parallel < n_a$ 时在中途转换为快波并反射。
• LHRF 快波（FW）： 同频段，低密度和高密度区均可传播（高密度时独存）。
• ICRF 快波（FW）： 低频（10–200 MHz），高密度区传播，受离子-离子混杂共振层分割。
• ICRF 慢波（SW）： 同频段，仅在极低密度区传播，热效应显著。
• 离子声波（IAW）： 仅热多流体中出现，最低频，$\omega \sim k_\parallel v_{ts}$。通常在 $f < 10$ MHz 区域。

15. 案例复现

15.1 ECRF 可及性：56 GHz, $B_0 = 1.5$ T（Xie 2024 Fig. 4）

参数设置：

复现说明： 此案例对应 Xie 2024 论文 Fig. 4，当前 BON Studio 无专属 reference 预设。复现需以 Custom case 输入上述参数（需登录）。命令行版本可在参数文件中设置后运行。

预期观察：

• O 模式和快 X 模式在低密度区传播，分别存在截止密度；
• 慢 X 模式在冷模型中遇 UH 共振发散，在热模型中连续转换为热分支；
• 热效应在 O–X 转换（近截止）区域可忽略，在 SX–B 转换（近共振）区域显著。

15.2 ICRF 径向可及性：60 MHz, e/H/D（Xie 2024 Fig. 8）

参数设置：

复现说明： 此案例是 BON Studio 的固定 reference 预设之一（xie2024-fig8-hd-warm），可直接在界面中选择运行，仅需调整扫描点数即可复现论文 Fig. 8。

预期观察：

• FW 被离子-离子混杂共振层分割为两个 $R$ 传播区；
• FW 的冷解和热解高度一致；
• SW 仅在最外缘低密度区传播；
• 共振处 FW 与热模式分支连接。

15.3 LHRF 慢波可及性：$n_\parallel$ 扫描

参数设置建议：

• 频率：500 MHz（LHRF 典型值）
• $B_0$: 1.5 T
• $n_{e0}$: $5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$
• 扫描变量：$n_\parallel$, 范围 [1, 10]
• 同时启用冷模型和热模型

预期观察：

• 存在临界的 $n_a$ 值——$n_\parallel < n_a$ 时慢波倏逝，$n_\parallel > n_a$ 时慢波可传播；
• $n_a$ 可通过公式 $n_a \simeq \sqrt{1/(1 - \omega^2/|\omega_{ci}\omega_{ce}|)}$ 估算；
• $n_a$ 热修正通常较小。

16. 数据说明

16.1 研究模式与数值合同

BON Studio 的数据产品分为三个层级，各自承担不同的可信度约定：

• v1 固定参考基线（reference）： 输入参数由 Xie 2024 论文 Fig. 4/7/8 等配置锁定，不开放物理参数编辑。每次运行产生稳定的 case_contract（该次计算的唯一标识，来自服务器）。报告中的 case_contract 依赖服务器版本——不同部署之间不保证跨实例一致，同一部署内同一输入产生相同 contract。
• v2 模板运行（template）： 预填可编辑参数，不等同于任何命令行版 fixture。适合参数探索，但不应将结果直接标注为"论文复现"。
• v2 自定义案例（custom）： 完全由用户配置。适合研究探索。报告中不附带 v1 reference 合同标识。

16.2 数值精度边界

• 命令行版与 BON Studio 均使用双精度浮点和稠密矩阵本征值求解。
• 扫描分辨率由扫描点数控制——点数过少可能遗漏倏逝层中的模式转换细节（特别是截止附近的隧穿区域）。
• 分支按每扫描点 $\mathrm{Re}(n_\perp^2)$ 排序——在交叉附近的分支标签跳跃是数值排序假象，不是物理的模式跃迁。
• $|\mathrm{Im}(n_\perp^2)|$ 是多流体矩阵结构的数学结果，不是物理阻尼率。将其解读为"吸收强度"是不正确的（见第 4.5 节）。

16.3 单位约定

界面中以易于阅读的单位显示（MHz, $10^{19}$ m$^{-3}$, keV），但 API 和导出文件中始终使用 SI 单位（Hz, m$^{-3}$, eV）。命令行版本同样使用 SI 单位。在处理密度和频率数值时务必注意单位转换。

17. BON 使用手册摘要

17.1 快速入门流程

1. 选择合适的预设案例（reference preset 或 template）；
2. 选择扫描变量和模型（冷/热/两者）；
3. 设置扫描范围；
4. 点击"运行分支扫描"；
5. 观察可及图：识别传播区/倏逝区/截止/共振；
6. （可选）点击分支获取详细诊断；
7. （可选）生成完整报告存档。

17.2 常见问题排查

17.3 保存、加载与报告

• 保存输入参数： 使用"保存输入"按钮导出 JSON 文件，包含所有物理参数和扫描设置。
• 加载输入参数： 使用"加载输入"按钮导入之前保存的 JSON 文件。
• 生成完整报告： 收敛后可一键生成 HTML 报告，包含输入参数、可及图、所有诊断指标与案例合同信息。对于 v1 reference 案例，报告中附带 case_contract 以确保复现性。

延伸阅读与参考文献

• 核心论文： Xie, Ma & Bai (2024), Plasma wave propagation conditions analysis using the warm multi-fluid model, Fundamental Plasma Physics 10, 100050. DOI: 10.1016/j.fpp.2024.100050。
• 详细教程： Xie (2021), BO-n: Plasma wave accessibility diagram, arXiv:2111.05669。
• 前身代码 BO： Xie (2019), BO: A unified tool for plasma waves and instabilities analysis, Comput. Phys. Comm. 244, 343–371. Xie, Denton, Zhao, Liu (2021), BO 2.0, arXiv:2103.16014。
• 经典教材： Stix, T.H. (1992), Waves in Plasmas, AIP Press。
• 经典教材： Swanson, D.G. (2003), Plasma Waves, 2nd ed., IOP。
• LHW 可及性综述： Pinsker, R.I. (2015), Whistlers, helicons, and lower hybrid waves, Phys. Plasmas 22, 090901。
• BON 源码： https://github.com/hsxie/bon。